РЕШУ ЦТ — математика

Задания

Задание № 1707 Добавить в вариант

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2020

Сложность: III

Площади

В четырехугольнике ABCD, вписанном в окружность, $BC=CD=10 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента$ и длины сторон AB и AD равны радиусу этой окружности. Найдите значение выражения S², где S  — площадь четырехугольника ABCD.

Решение. Введем обозначения, как показано на рисунке, в силу того, что углы, опирающиеся на одни дуги, равны, имеем: $\angle 2 = \angle 7,$ $\angle 1 = \angle 4,$ $\angle 3 = \angle 6,$ $\angle 5 = \angle 8.$ Так как равные хорды стягивают равные дуги, получаем: $\angle 5 = \angle 7 = \angle 8 = \angle 2,$ а также $\angle 3 = \angle 4 = \angle 1 = \angle 6.$ По теореме синусов:

$дробь: числитель: R, знаменатель: синус \angle 7 конец дроби = 2R равносильно синус \angle 7 = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно \angle 7 = 30 градусов .$

Так как AH  — биссектриса равнобедренного треугольника DAB (углы 3 и 4 равны), то AH также является высотой. Углы BHA и DHC равны 90°, поэтому угол 6 равен 60°, угол 5 равен 30°, угол ADC равен 90°, поэтому AC  — диаметр окружности. По теореме Пифагора в треугольнике ADC:

$AD в квадрате плюс CD в квадрате = AC в квадрате равносильно R в квадрате плюс левая круглая скобка 10 корень из 3 правая круглая скобка в квадрате = 4R в квадрате равносильно 3R в квадрате = 300 равносильно R = 10.$

Тогда площадь четырехугольника ABCD равна

$S_ABCD = 2S_ADC = AD умножить на DC = 10 умножить на 10 корень из 3 = 100 корень из 3 .$

Таким образом, $S_ABCD в квадрате = левая круглая скобка 100 корень из 3 правая круглая скобка в квадрате = 30 000.$

Ответ: 30 000.

Ответ: 30000

1707

30000

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2020

Сложность: III

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	1707	30000